杜新宝：数学水平降　冤了高思维

都说华小生的数学顶呱呱，但由马来西亚华文理事会（华理会）成立的“提升华小数学水平工委会”（工委会） 对吉隆坡5所华小约400名四年级至六年级（高年级）学生进行数学能力测试的结果显示，及格率才达到约70%，远低于以往UPSR年代华小数学平均98.5%的及格率。另外，约40%的学生无法完全掌握最基本的加减乘除的技能。

华理会研究了华小数学课本的内容，发现数学课本内容存在几项问题，特别是与国小的数学课本内容比较，华小的数学课本存在内容过于抽像、概念梳理不够明确、以及过于强调高层次思维题目等的问题。（延伸阅读：华小数学水平“断崖式下滑” 华理会成立工委会应对）

怎么说“过于抽像”、“概念不明确”以及“过于强调高层次思维题目”？工委会的这三点发现，需要具体的例子详细说明。对外通常不谈例子，希望在工委会内这是清晰的，不然未来的工作很可能瘙不到华小数学痒处。

我们不妨根据以下数学题，围绕以上三点谈一谈：某人给每户人家各发了5公斤的白米，他给8个家庭发了米，请问他总共发出多少米？（题目一）

某学生写出的答案是5×8=40。但老师批改为错，说正确的答案应该是8×5=40公斤。 这是发生在新加坡的故事，但适用于讨论我们关注的要点。

一名小学数学老师说“虽然根据乘法交换律，乘数的顺序并不会影响最后的答案，但写出来的算式会告诉我们，这名学生有没有读懂题目的内容。正确的答案应该是8个家庭各获得5公斤白米，因此算式应该是 8×5=40…”

今天的乘法教学要求把乘法运算写成“组别组员”（或“组个”）的形式，在以上例子中，组别是指家庭，组员是指每个家庭被分的白米数量，因此才有8×5的说法。

根据此一规定，若写成5×8，意思则是有5个家庭，每组家庭被分8公斤白米。

两者的计算结果都是40公斤白米，家庭数量以及每户人家所获白米数量却前后有别。

现围绕华理会的评论思考如下：

一、当一个学生事前不知道乘法交换律，但随著解题经验增多，因此时运用 5×8=40解某些题，彼时运用 8×5=40解另一些题，后来发现原来 5×8=8×5，这是小朋友的大发现，思维上是一个飞跃，进行了一次成功的归纳，从具体到抽像，把白米、家庭等等的东西统统去掉，剩下a×b=b×a。数学原就是抽像的学科，学数学就是要培养学生的抽像思维能力，不宜抗拒，更应多多益善，但对于特定年龄层的孩子是不是“过于”抽像，真要坐下来看看工委会的例子，希望工委会具备具体例子具体分析的能力。

二、如果老师先教乘法交换律，但学生因此时运用 5×8=40解某些题，彼时运用 8×5=40解其他题，发现原来用在生活上意思可以大不同，这也算是小朋友的大发现，思维上也是一次飞跃，进行了一次成功的演绎。

三、从题目一的设题和老师的批改看，显然老师著重要求学生用“组别组员” 的形式进行乘法计算，因此也就著重要求学生有能力判别“组别”和“组员”。从应用角度看，判别“组别”和“组员”是否有必要？我们生活中的经验都是不先判别组别和组员就能得出答案，比如吃了5道菜，每道15令吉，一共就得付75令吉，谁管是“菜”为组别还是“15令吉”为组别。这也就是家长认为题目一中没必要区分5×8和8×5 的原因。

有一种说法是，老师教数学，强调“组别”和“组员”概念，自有学习和学术上的道理。那么，姑且跳出一般家长的水平想想，我们也就必须当心判断“组别”和“组员”，一、不容易，二、可能会因要求具体而牺牲掉灵活度，包括老师的设题； 三、可能会框死学生的思维。

怎么说？拿个例子。如果有老师设这样的题目（题目二）：某人将一包5公斤的白米分发给8个家庭，他共分了5包白米，请问他总共给多少户家庭发出白米？

在这道题里，组别是什么，组员是什么？一时难以判断，不是吗？工委会说的“概念梳理不明确”是否指这一类？如果是，我认同。

当你用“组别”和“组员”这对词，其实就在不自觉中做了一个假设：组员是组别的成员，因此组员应该是在组别“中”。“有三个盘子，每个盘子有两粒苹果”（题目三），苹果（组员）在盘子（组别）中，这很容易了解。但“有8户人家，每户分得5公斤米”（题目一），米（组员）在家（组别）中，是不是离生活用语、理解有点远（无论如何，请注意，这可以是一种正确的高度抽像）？“有5包的米，每包分给8家庭”（参考题目二），家（组员）在米（组别）中，这个不是别扭吗（这自然也可以是一种正确的高度抽像）？。

用“组别”和“组员”概念教导学生乘法，如果题目情境和小朋友的生活经验非常一致（比如题目三，苹果在盘子里），那是好的，尤其是对刚接触乘法的学生，但若只管强调这个方法，变成了一种解乘法题的捷径，出现“学生难以判别哪个是组别哪个是组员，或者即便能判别，却感觉别扭”的情况时，却不去适时教导处理      a×b=c中a和b的单位如何决定了c的单位以及如何从a和b的单位判断哪个是组别哪个是组员，那么方法就会变成是僵硬的，数学就变成是死板的（不管是学生的解题还是老师的设题）以及学习数学就是无趣的。

四、说乘法理应是依据“组别组员”进行，本身也是欠明确的，说是“组别数组员数每组”更好。这样做有两点好处，一、学生根据能写成“组员数每组” 的量，就能判定相关物体不构成组别，比如在题目一有“8个家庭每包米”，则米就是组别。二、是“组别数组员数每组”还是“组员数每组组别数”就不再重要，这比根据不关紧要的乘项位置去判定组别要好。

五、人们经常把“高思维“等同于”难“，这是我国推行高思维教育以来就常见的“望文生义”，结果是设了很多的难题目，现在又反过来用“高思维”做为学生学不好数学的原因。高思维真是冤啊！真正的祸首应该是难题目，那些都是不认识高思维的设题者生产出来的。我们应该让老师有空和意愿去学习和认识高思维，将之融入到教学和设题中。有好的课本和教材固然重要，但不可凡有问题出现就向课本和教材开刀。如果老师认识高思维，他们会自行纠正、弥补课本和教材的缺陷。
    
难到使学生不会作答的题目是难题目，可以简单、权宜地这样说：让学生一时不适应的题目（未必不会作答）是高思维题目。解了一百道类同（有一种说法：这叫操练）题目一的习题的六年级学生，突然面对类同题目二的习题，所需思路有点不同了，需有分数的概念为底子（计算上未必得用），这对他们就是高思维题目。前后两者在解题步骤有明显的长短、难易之分吗？没有。一般人，尤其是“难题目”的出题者，不会认为后者是高思维题目，他们常掉进“不够难、不足以难倒学生”的陷阱。但如果你能看见解题思路，你会认同：对一般爱操练“题目一”类型习题的学生而言，“题目二”类型习题即便不算难，也算是“高”了，因为它给了学生一个不同于一贯数学思维的体验。

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